Тени черных дыр и фотонные сферы

Виртуальная сеть радиотелескопов «Горизонт событий» с апертурой в Землю открыла новый канал получения информации об астрофизических объектах в миллиметровом диапазоне волн. Достигнутое разрешение 50 угловых микросекунд позволило получить изображение черной дыры в центре галактики М87 и в центре Млечного пути (май 2022 г)

Черная дыра в центре галактики М87 Черная дыра в центре Млечного пути

В августе 2022 и в феврале 2023г. коллаборация сообщила о получении изображений двух далеких квазаров, в ядрах которых также предположительно находятся аккрецирующие черные дыры. Таким образом, возникла возможность изучения сверхсильных гравитационных полей в непосредственной близости от горизонтов событий. Хотя саму черную дыру увидеть невозможно, светящийся газ вокруг нее дает характерную картину темной центральной области, окруженной яркой кольцеобразной структурой. Последняя возникает в результате фокусировки излучения плазмы сильным гравитационным полем вблизи черной дыры.

Новое окно наблюдений вызвало всплеск интереса к задачам сильного гравитационного линзирования и построения изображений черных дыр, подсвечиваемых источниками излучения в непосредственной близости от них. Традиционно задачи такого рода решаются с помощью уравнений для изотропных геодезических в искривленном пространстве-времени, преимущественно, численными методами. Однако важное значение имеет понимание общих закономерностей движения фотонов (хотя речь идет о радиодиапазоне, изучаемые эффекты описываются геометрической оптикой, и такой язык вполне уместен) в близкой окрестности черных дыр. Хорошо известно, что фотоны в поле Шварцшильда могут двигаться по круговым орбитам радиуса равного полутора радиусам горизонта событий. Это связано с тем, что эффективный радиальный потенциал в уравнениях движения фотонов, в отличие от случая движения в кулоновом поле, не имеет центробежного потенциального барьера, препятствующего падению на центр, и он обращается в нуль на горизонте событий:

Вершина этого потенциала соответствует радиусу неустойчивых круговых орбит. Если поместить фотон в точку r=3 rg /2 и придать ему импульс строго по касательной, то он останется на этой окружности навсегда (в пренебрежении излучением гравитационных волн). Все орбиты в поле Шварцшильда являются плоскими благодаря сохранению вектора момента количества движения, поэтому такие окружности (световые кольца) будут заполнять «фотонную сферу».

Эффективный потенциал для радиального движения фотонов в поле Шварцшильда как функция радиуса

Из этого рисунка видно, что замкнутые фотонные орбиты неустойчивы, но важная роль фотонной сферы состоит в том, что она отделяет область рассеяния от области поглощения для падающих с различными прицельными параметрами световых лучей, причем «последние» рассеивающиеся фотоны могут многократно навиваться на нее и лишь затем уходить на бесконечность, создавая множественные изображения от удаленных звезд на луче зрения. Формирование тени от черной дыры, подсвечиваемой сзади, будет определяется именно фотонной сферой, а не горизонтом событий.

Интересно отметить, что в гравитационно-волновой астрономии имеется возможность наблюдения волновых эффектов в окрестности горизонта событий, хотя и для волн другой природы, но управляемых близкими закономерностями. Считается, что высокочастотный хвост гравитационно-волнового сигнала при слиянии черных дыр отражает спектр квазинормальных мод — резонансных состояний волнового гравитационного поля в окрестности фотонной сферы вокруг образующейся черной дыры. При столкновении черных дыр или нейтронных звезд образуется сгусток гравитационных волн со спектром этих резонансных состояний, которые затем частично уходят на бесконечность, а частично поглощаются конечной черной дырой.

Следует иметь в виду, что хотя имеющиеся результаты наблюдений как в гравитационно-волновой астрономии, так и в радиоинтерферометрии, представляются укладывающимися в рамки общей теории относительности Эйнштейна, проблемы темной материи и темной энергии оставляют открытым вопрос о возможности неизвестных видов материи, либо о модификации уравнений Эйнштейна. При этом возникают предсказания гипотетических ультракомпактных объектов (УКО) без горизонтов событий, таких как кротовые норы, голые сингулярности и др. Поэтому не прекращаются попытки извлечения из новых каналов информации и «новой физики», что порождает интерес к изучению распространения фотонов в сильном гравитационном поле также и в альтернативных теориях. Важный вопрос, могут ли альтернативные УКО иметь фотонные сферы. Нейтронные звезды по-видимому их иметь не могут при допустимых уравнениях состояния. Но кротовые норы и голые сингулярности могут в этом отношении имитировать черные дыры.

В последние годы были проведены теоретические исcледования фотонной структуры большого числа известных решений ОТО, а также альтернативных теорий. Наша группа на кафедре теоретической физики (м.н.с. К.В. Кобялко, И.А. Богуш и автор настоящей заметки) работает в этой области более четырех лет, результаты были опубликованы в серии статей в Physical Review D: 99, 084043; 100, 1049009 (2019); 102, 124006 (2020); 103, 064045; 104, 044009; 104, 124064 (2021); 106, 024006; 106, 024034; 106, 084032 (2022). Был сформулирован новый подход в теории теней, основанный не на рассмотрении изотропных геодезических, а на изучении геометрии характеристических двумерных поверхностей в сильных гравитационных полях и соответствующих им трехмерных гиперповерхностей в пространстве-времени. Выяснилось, что статические гравитационные поля, не обладающие сферической симметрией, могут иметь несферические поверхности, на которых локализуются фотонные орбиты. Однако важнейший с точки зрения астрофизики класс стационарных полей, обладающих вращением, к которому принадлежит метрика Керра, не имеет компактных фотонных поверхностей. Фотонные кольца (окружности) в метрике Керра существуют только в экваториальной плоскости, и они уже не образуют сфер. В определенной системе координат, метрика Керра допускает неэкваториальные фотонные орбиты с постоянным значением радиальной координаты, так называемые сферические орбиты. Но на них лежат только фотонные траектории с определенным прицельным параметром, т.е. определенным значением угла вылета фотона из экваториальной плоскости. Это можно представить себе как паутину, которую плетет паук, выползающий из экваториальной плоскости под определенным углом, и далее движущийся строго вперед по сфере. Если имеется много пауков, непрерывно распределенных по экватору и начинающих движение под тем же углом, то, в силу азимутальной симметрии метрики Керра, паутина плотно заполнит всю сферу. При этом ее радиус будет зависеть от угла траекторий к экватору, т.е. возникает семейство сфер, заполняющих трехмерную фотонную область в пространстве, которая в пространстве-времени образует некоторое четырехмерное подмногообразие пространства Керра. Фотонная область в метрике Керра имеет важнейшее значение для понимания теней от вращающейся черной дыры, а также спектра высокочастотных квазинормальных мод. Геометрическая природа «паутинных» сфер, расслаивающих фотонную область, ранее не исследовалась. Определяющим свойством настоящей фотонной сферы в статическом пространстве-времени Шварцшильда является ее омбиличность, т.е. пропорциональность второй квадратичной формы (тензора внешней кривизны) индуцированной метрике. Паутинные сферы в метрике Керра и в стационарных пространствах общего вида уже не являются омбилическими.

Строгая математическая теория фотонных подмногообразий в стационарных аксиально симметричных метриках была сформулирована К.В. Кобялко в кандидатской диссертации «Геометрический подход к теории фотонных многообразий в гравитационных полях», защищенной им в сентябре 2022 г. в МИАН им. Стеклова. Оказалось полезным ввести понятие частично-омбиличес ких гиперповерхностей, для которых пропорциональность индуцированной метрики и второй квадратичной формы выполняется не для полных трехмерных тензоров, а лишь для их сверток с касательными векторами, удовлетворяющими дополнительному условию, которое можно интерпретировать как фиксацию прицельного параметра.

Сферические орбиты фотонов в метрике Керра. Радиус сферы зависит от угла траекторий к экватору. Условие омбиличности выполняется только для касательных к траекториям направлений

Тем самым была дана интерпретация фотонных областей в терминах расслоений частично-омбилическими гиперповерхностями.

С практической точки зрения, это позволило развить аналитические методы построения фотонных областей для общих стационарных аксиально-симметричных метрик, включая те, для которых не существует скрытых симметрий, описываемых тензорами Киллинга второго ранга, что необходимо для разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби и в волновых уравнениях, как это имеет место в метрике Керра, где существует интеграл Картера. В отсутствие тензора Киллинга, систему уравнений геодезических разделить не удается, а фазовое пространство содержит области хаотического движения. Между тем, частично-омбилические поверхности по-прежнему удается описать аналитическими методами. Также, при наличии тензора Киллинга, наша техника позволила получить аналитическую формулу для границы тени вращающейся черной дыры.

Этот подход позволил сформулировать и новый метод отыскания тензоров Киллинга с помощью расслоения пространства-времени частично омбилическими поверхностями. При выполнении некоторых условий интегрируемости, можно, взяв за основу тривиальные тензоры Киллинга в слоях (т.е. метрику и тензорные произведения двух коммутирующих векторов Киллинга), построить нетривиальный тензор Киллинга в полном пространстве-времени. Эта процедура, в свою очередь, помогла понять существование тензоров Киллинга для черных дыр в расширенных теориях супергравитации, где, помимо гравитона, есть еще скалярные и векторные поля, и черные дыры уже не описываются метриками типа D по Петрову, к которому принадлежит метрика Керра и для которого существование тензора Киллинга доказано. В супергравитации метрики черных дыр относятся к общему типу I, однако тензоры Киллинга второго ранга во многих случаях существуют. Как было показано членом нашей группы м.н.с. А.В. Кулицким, это связано с тем, что черные дыры в супергравитации, хотя и не принадлежат типу D, но обладают характерными для этого типа свойствами — имеют геодезические и бессдвиговые главные изотропные направления, а также допускают слоения частично-омбилическими гиперповерхностями.

Развитая геометрическая теория фотонных подмногообразий была недавно обобщена на случай массивных и заряженных частиц. Здесь также можно ввести понятие обобщенных частично-омбилических гиперповерхностей, вводя в соответствующие уравнения члены, зависящие от массы и внешних электромагнитных полей. Применительно к теории аккрецирующей черной дыры, такие поверхности могут определять границу тени, оставляемую черной дырой в потоке частиц плазмы вследствие поглощения части потока на горизонте. Однако, этим их полезность не исчерпывается. Они позволят классифицировать орбиты тел в сильном гравитационном поле при невозможности разделения переменных в уравнениях геодезических, определять устойчивость или неустойчивость движения, компактность или некомпактность области его локализации, установить некоторые общие свойства пространств, допускающих такие характеристические поверхности. Подобные поверхности могут существовать и в пространствах без горизонтов событий, таких как кротовые норы и голые сингулярности, и по своему расположению и параметрам они позволят различить указанные геометрии между собой. Они также важны при решении задач квантовой теории рассеяния в гравитационных полях, предоставляя дополнительную информацию к той, которая описывается стандартным сечением рассеяния. Помимо перечисленных выше приложений, здесь можно отметить также возможные приложения к исследованию устойчивости магнитосфер в окрестности горизонтов черных дыр.

Профессор кафедры теоретической физики Д.В. Гальцов