Ультрафиолетовые свойства калибровочных теорий: вчера, сегодня,завтра

На протяжении многих лет на кафедре теоретической физики ведутся исследования теории калибровочных полей и их суперсимметричных расширений. Их начало было положено А.А. Славновым, а в настоящее время они продолжаются в работах ряда сотрудников, аспирантов и студентов кафедры теорети -ческой физики. Мы расскажем о некоторой части этих исследований.

Неабелевы калибровочные теории были построены Янгом и Миллсом

(C.N. Yang, R. Mills) в 1954 году. Основным их свойством является наличие локальной инвариантности относительно преобразований некоторой симметрии, которая представляет собой обобщение калибровочной инвариантности в электродинамике. Как оказалось впоследствии, эти теории являются основой для описания электромагнитных, слабых и сильных взаимодействий, а также теорий, которые предположительно описывают окружающий мир при энергиях больших, чем те, которые доступны в настоящее время. В настоящее время также активно исследуются суперсимметричные обобщения калибровочных теорий, в которых также существует инвариантность относительно преобразований, перемешивающих между собой бозоны и фермионы. N = 1 суперсимметричные теории используются сейчас при построении моделей новой физики, выходящей за рамки Стандартной модели.

Тем не менее, как и в подавляющем большинстве моделей квантовой теории поля, при вычислении квантовых поправок в теориях Янга-Миллса возникают интегралы, расходящиеся в ультрафиолетовой области. Поэтому при работе с такими теориями необходимо уметь правильно обращаться с этими бесконеч ностями. В перенормируемых теориях расходимости удается включить в пе -реопределение различных параметров теории: полей, масс и констант связи. Эта процедура позволяет получать конечные результаты для квантовых попра -вок к различным величинам. Поэтому доказательство перенормируемости теории Янга-Миллса представляло собой важнейшую задачу. Ключевую роль в ее решении играет калибровочная инвариантность, которую необходимо сфор -мулировать уже на квантовом уровне. Это было сделано А.А. Славновым и независимо Дж. Тейлором (J.G. Taylor) в 1971 году. Оказалось, что на квантовом уровне калибровочная симметрия проявляется в виде некоторых тождеств, связывающих функции Грина, которые в литературе получили название тождеств Славнова-Тейлора. Эти тождества тесно связаны с BRST-инвариантностью, которая остается от калибровочной симметрии после процедуры фиксации калибровки, найденной в1975 году К. Бекки, А. Руэ, Р. Стора (C. Becci, A. Rouet, R. Stora) и независимо И.В. Тютиным. Именно тождества Славнова-Тейлора стали основой доказательства перенормируемости теорий Янга-Миллса, которое было дано т’Хофтом и Вельтманом (G. ‘t Hooft, M. Veltman) в 1971 году. Перенормируемость суперсимметричных калибровочных теорий была впервые доказана А.А. Славновым в 1975 году.

Однако для работы с расходящимися квантовыми поправками в теорию также необходимо ввести регуляризацию, которая представляет собой такую модификацию исходной теории, при которой ультрафиолетовые расходимости заменяются на конечные выражения. При этом в теории появляется некото -рый параметр, при некотором значении которого теория совпадает с исходной. Большую популярность приобрела размерная регуляризация, предложенная т’Хофтом и Вельтманом, смысл которой заключается в том, что квантовые поправки вычисляются в пространствах нецелой размерности D = 4 -?. При этом исходная теория получается в пределе ? ? 0. Однако такая регуляри -зация не всегда является хорошей и удобной. Например, она плохо работает для суперсимметричных теорий, поскольку явно нарушает суперсимметрию. В 1971 году А. А. Славнов предложил регуляризацию, которая была лишена этого недостатка: т. н. регуляризацию высшими ковариантными производны -ми. Она заключается в том, что к действию теории добавляется некоторое слагаемое, содержащее высшие ковариантные производные. Благодаря этому все квантовые поправки за исключением однопетлевых становятся конечными. Для регуляризации остаточных однопетлевых расходимостей А. А. Славнов в1977 году предложил использовать метод Паули-Вилларса, который после это -го стал частью регуляризации высшими производными. Как оказалось, такая регуляризация имеет ряд преимуществ по сравнению с размерной техникой: она хорошо работает для суперсимметричных теорий и теорий с киральными фермионами, в частности, не нарушает суперсимметрию, и, конечно, не требует использования пространств нецелой размерности. К сожалению, ее недостатком оказалось существенное усложнение технической части вычислений квантовых поправок. Поэтому в течение достаточно длительного времени явные вычисления квантовых поправок с ее помощью выполнялись крайне редко. Однако сравнительно недавно оказалось, что в применении к суперсимметричным теориям такая регуляризация позволяет выявить целый ряд интересных закономерностей структуры квантовых поправок. Долгое время эти свойства оставались незамеченными именно благодаря использованию при вычислениях исключительно размерной техники.

Квантовые свойства суперсимметричных теорий имеют ряд интересных особенностей: их ультрафиолетовой поведение существенно лучше, чем в несуперсимметричном случае благодаря т. н. теоремам о неперенормировке. В частности, N = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса оказывается полностью конечной, а в N = 2 калибровочных теориях расходимости присутству -ют только в однопетлевом приближении. Для наиболее физически интересных N = 1 теорий известно, что перенормировка масс и юкавских констант оказывается связанной с перенормировкой суперполей материи. Кроме того, в 1983 году из общих соображений было предложено соотношение, которое связывает бета-функцию с аномальными размерностями суперполей материи, получившее в литературе название точной бета-функции В.А. Новикова, М.А. Шифмана, А.И. Вайнштейна и В.И. Захарова (NSVZ). В частности, из нее следуют все теоремы о неперенормировки для N = 2 и N = 4 суперсимметричныхтеорий. Однаковычисленияпо теориивозмущений, сделанныевразмерной технике в схеме минимальных вычитаний, не подтвердили ее справедливость. При этом удалось понять, что это несоответствие связано с неоднозначностью процедуры устранения расходимостей, или же, другими словами, с выбором схемы перенормировки. Долгое время не было известно, как необходимо проводить перенормировку так, чтобы получить NSVZ-бета-функцию. Ответ на этот вопрос удалось дать с помощью регуляризации высшими ковариант -ными производными А.А. Славнова. Вычисления квантовых поправок в N = 1 суперсимметричных калибровочных теориях показали, что при использовании

такой регуляризации NSVZ-бета-функция получается при использовании регуляризации высшими ковариантными производными в схеме, аналогичной схеме минимальных вычитаний (когда в константы перенормировки включаются только степени ln ?/µ). Трехпетлевые вычисления, сделанные в работах сотрудников и аспирантов кафедры теоретической физики, подтвердили это предположение. Фактически, впервые NSVZ-соотношение было получено прямыми вычислениями по теории возмущений в том порядке, где существенна схемная зависимость. Это говорит о том, что полученные в последнее время результаты связали вместе такие, казалось бы, различные результаты, как регуляризация высшими производными, тождества Славнова-Тейлора и NSVZ-бета-функция. Поэтому не случайно, что в 2013 году премией имени И.Я. Померанчука были совместно награждены А.А. Славнов и М.А. Шифман. Тем не менее, многие вопросы исследования ультрафиолетовых свойств калибровочных теорий (как, например, вывод неабелевой NSVZ-бета-функции прямым суммированием ряда теории возмущений) по-прежнему ждут своего решения. Однако уже сейчас ясно, что полученные много лет назад результаты исследования динамики калибровочных теорий по-прежнему играют важнейшую роль в современных исследованиях.

Зав. кафедрой теоретической физики академик А.А. Славнов, доцент К.В. Степаньянц