О Нобелевской премии-2016 по физике

Или что общего у пластилиновой вороны, танцевальной постановки и электронной жидкости

Рис. 1. Нобелевские лауреаты по физике 2016 года (слева направо): Дэвид Таулесс, Дункан Халдейн и Майкл Костерлиц

Нобелевские премии по физике последних нескольких лет не перестают радовать не только научную общественность, но и обывателей, непосредственно не связанных с физикой. Действительно, многие «нашумевшие» физические концепции, основанные на красивых математических идеях, наконец-то получили мировое признание: достаточно упомянуть «частицу бога» Хиггса, осцилляции нейтрино и «настольную лабораторию физики высоких энергий», реализованную в графене. Несомненно, «обречены» на Нобелевскую премию и открытые буквально вчера гравитационные волны.

В этом году, однако, Премия, врученная Дэвиду Таулессу, Дункану Халдейну и Майклу Костерлицу (рис. 1), имеет более загадочную формулировку: «за теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических фаз материи». Стало быть, союз математики — а именно, топологии, нетривиального и весьма абстрактного ее раздела — и более эмпирической физики, снова принес прекрасные плоды? Не ставя себе задачу дать полное введение в соответствующую область теоретической физики конденсированного состояния и, тем более, топологии, постараюсь помочь читателю ощутить аромат плодов нового сорта, оцененных в этом году Шведской королевской академией наук.

Разберемся в терминологии

Итак, начнем с расшифровки самой формулировки достижений лауреатов, данной Нобелевским комитетом.

Что такое топология? Образно говоря, это математически сформулированные правила лепки из пластилина.

Действительно, ребенок, еще не научившийся складывать, умножать и пользоваться линейкой, в сущности, еще недостаточно знаком с геометрией (дословно, землемерием), однако он уже знает, что, чтобы слепить из пластилина ворону, достаточно раскатать в руках небольшой цилиндрик, а потом можно прилеплять и вытягивать из него клюв и лапки. Кроме того, он интуитивно понимает, что ни пластилиновый бублик, ни чашку нельзя «вытянуть» из простого цилиндра: либо где-то в нем придется делать дырку, либо же склеивать два куска пластилина вместе. Топология имеет дело именно с такими «правилами лепки»: она изучает фигуры и поверхности, не прибегая к геометрическим приборам — линейке и транспортиру — но разрешая деформировать «поделки», нигде не разрывая их и не приклеивая полученные поверхности к себе самим или друг к другу. При этом поверхностям можно сопоставить некоторое число — род — который сохраняется при лепке. В итоге, бублик и чашка будут обладать одинаковым родом, не совпадающим, однако, с родом для цилиндра, что говорит о невозможности «слепить» бублик из цилиндра (см. рис. 2а).

Рис. 2. (а) Поверхности булочки, бублика и брецеля обладают родами, соответственно, и поэтому не могут быть трансформированы друг в друга непрерывными деформациями; (б) топологически неэквивалентные друг другу многообразия — цилиндрическая поверхность и лист Мёбиуса

Другой известный пример топологически неэквивалентных многообразий (поверхностей) — это цилиндрическая поверхность и лента (лист) Мёбиуса (рис. 2б). В данном случае каждую из поверхностей можно задать полем n(ϕ) на окружности ϕ ∈ [0,2π), проходящей по центру обеих лент (см. рис. 2б), и свести неэквивалентность поверхностей к топологической неэквивалентности отображений окружности в пространство векторов n. А именно, при обходе по этой окружности вдоль листа Мёбиуса вектор n(ϕ) делает один оборот против часовой стрелки, а в случае цилиндра — остается на месте.

В физике конденсированного состояния поля, описывающие состояние материи в разных точках, также могут быть поделены на классы эквивалентности по отношению к их топологическому родству. За примерами мы и обратимся немного погодя к нынешним нобелевским лауреатам.

Какие мы знаем состояния (фазы) материи? Вопрос этот, оказывается, совсем не тривиален.

Обычно решение о состоянии вещества, т.е. системы, состоящей из макроскопического числа одинаковых «кирпичиков», принимается на основе анализа ее свойств, таких как плотность, сжимаемость, восприимчивость к различным внешним воздействиям и т.п. Действительно, жидкость легко меняет форму, но крайне слабо отвечает на изменение давления — воздействие, стремящееся изменить ее объем. Газ легко изменяет как объем, так и форму, твердое тело стремится сохранить и то, и другое. Но как быть с другими типами воздействия, например, с электрическим полем?

Квантовая и статистическая физика учат нас, что отклик вещества на внешнее воздействие имеет прямое отношение к элементарным возбуждениям, которые могут возникать в данной системе. Например, возникновение тока в жидкости, приводящее к изменению ее формы, — это некоторое изменение распределения молекул по импульсам, которое можно макроскопически трактовать как движение жидкости как целого.

Рис. 3. (а) Три самых известных состояния вещества — твердое (лед), жидкое (вода) и газообразное (пузырьки); (б) Эффект Мейснера: магнит левитирует над сверхпроводником; (в) Дифракционная картина, создаваемая квазикристаллом, проявляет в нем оси симметрии пятого порядка, запрещенные в обычном кристалле

Точно так же, электрический ток в металле является результатом образования в вырожденном электронном газе коллективных возбуждений — квазичастиц — под действием электрического поля. Часто эти возбуждения могут быть описаны скоростью, энергией и импульсом, как и обычные частицы.

Спектр элементарных возбуждений конденсированной среды зачастую является определяющим для ее свойств. Так, сверхпроводник обязан своим нулевым сопротивлением наличию энергетической щели в спектре квазичастиц.

Наконец, состояния материи часто связывают с так называемым порядком (т.е. упорядоченностью): например, в твердом теле с кубической кристаллической решеткой имеется трансляционный порядок, кроме того, кристалл переходит в себя при поворотах относительно некоторых осей. Жидкость же не содержит выделенных направлений и переходит в себя уже при произвольных вращениях. Поэтому, когда происходит фазовый переход — плавление — твердое тело расширяет свою группу вращательной симметрии. Еще Лев Ландау предположил, что фазовые переходы можно связать именно с изменениями свойств симметрии. А именно, понижение симметрии часто можно описать в терминах возникновения в системе нетривиального самосогласованного параметра порядка, ненулевое значение которого запрещено в более симметричной фазе. В зависимости от системы и типа фазового перехода параметр порядка может быть математическим объектом разной природы, например, вещественным или комплексным полем.

Итак, понятие фазы материи связано с элементарными возбуждениями и порядком. В итоге получается, что предмет последней Нобелевской премии — элементарные возбуждения в различных формах материи, не устранимые гладкими деформациями, их роль в формировании и изменении порядка различных фаз материи, а также новые фазы материи, своим существованием обязанные своим же нетривиальным топологическим характеристикам.

Перейдем теперь к анализу вкладов Таулесса, Халдейна и Костерлица в данную тему.

Рождение циклона: сверхтекучесть, магнетизм и фазовые переходы Костерлица–Таулесса

Многие свойства сверхтекучего и сверхпроводящего состояний вещества, а также соответствующих фазовых переходов, можно описать с помощью так называемой теории Гинзбурга–Ландау. Эта теория оперирует с комплексным полем параметра порядка ψ(x) = ρ(x)eiθ(x), модуль которого ρ(x) определяет плотность сверхтекучей (сверхпроводящей) компоненты в точке x, а фаза θ(x) связана с токами. Ниже критической температуры плотность приобретает ненулевое значение, почти одинаковое во всем пространстве, и вклад в энергию главным образом описывается градиентом фазы:

Точно такой же гамильтониан получается в непрерывном пределе так называемой XY-модели, в которой в каждом узле i кубической решетки расположен вектор Si («спин») фиксированной длины s0, лежащий по определению в плоскости (xy) и взаимодействующий со спинами в соседних узлах:

Как видим, XY-модель имеет отношение не только к ферро- и антиферромагнетизму, но и к поведению параметра порядка в сверхтекучем и сверхпроводящем состояниях.

В то время как трехмерная XY-модель не вызывала никаких вопросов, в ее двумерном аналоге (который должен, в свою очередь, описывать тонкие сверхпроводящие пленки) наблюдался явный парадокс, который и разрешили Костерлиц и Таулесс.

А именно, казалось бы, XY-модель, обладая в непрерывном пределе квадратичным гамильтонианом, легко подвергается статистическому анализу при конечной температуре. Действительно, мы привыкли, что статистическая сумма

показатель экспоненты в которой квадратичен по θ, сводится к гауссовым интегралам вида

Расчет, основанный на таком «наивном» подходе, однако, приводит к тому, что при сколь угодно высокой температуре спиновые корреляции спадают по степенному закону

В то же время, интуитивно ожидается, что такое, критическое поведение должно разрушаться тепловыми флуктуациями при высоких температурах — сменяясь экспоненциальным спаданием корреляций. Что же исправили Костерлиц и Таулесс в рассуждении выше?

Одну формальную, математическую ошибку, которую мы намеренно спрятали в знаке

суммирования по всем полям θ(x).

А именно, данное поле является удобным параметром, определяющим параметр порядка, но, будучи его фазой, значения θ(x) лежат не на прямой, а на окружности [0,2π)! И что же, спросите вы — ведь все привыкли суммировать по малым возмущениям системы, т.е. по функциям θ(x), почти не отличающимся от нуля? Ответ Костерлица и Таулесса следует из математического построения правильной меры интегрирования по полям θ(x) и неутешителен: несмотря на то, что локально, около нуля окружность [0,2π) эквивалентна прямой (–∞, ∞), при конечных температурах система чувствует топологию всей области значений поля θ — другими словами, в термодинамическое равновесие дают существенный вклад большие возмущения, для которых топология окружности существенна. Оказалось, что правильный учет топологии, т.е. отождествление полей, отличающихся на 2πn, действительно восстанавливает экспоненциальное спадание корреляций при высоких температурах.

Рис. 4. Сверху: упорядоченное, «ферромагнитное» состояние спинов в XY-модели и топологически-тривиальное возбужденное состояние — спиновая волна; внизу: топологически-нетривиальные состояния: вихрь (слева) и антивихрь (справа)

Заодно выяснилось, что при некоторой конечной температуре происходит фазовый переход нового типа, который ныне называется переходом Костерлица–Таулесса (КТ-переходом). Главными действующими лицами в этом фазовом переходе являются вихри и антивихри (рис. 4, внизу) — конфигурации спинов, которые в двумерии топологически-нетривиальны, т.е. топологически не эквивалентны ферромагнитному состоянию (рис. 4, слева сверху). Чтобы отличить эти состояния от топологически-тривиальных, например, спиновой волны (там же, справа сверху), можно поступить так же, как мы делали ранее с листом Мёбиуса: проследить, как поворачивается вектор спина при обходе центра (анти)вихря по замкнутому контуру. Для вихря (антивихря) он делает один оборот против или по часовой стрелке, для топологически же тривиальных конфигураций — не делает ни одного.

Вихри отстоят от тривиального, ферромагнитного состояния на конечное расстояние в пространстве полей и поэтому не могут быть получены ни из какого разложения вокруг последнего. Более того, величина θ(x) просто расходится в центре вихря; расходится и энергия вихревого решения как целого. Костерлиц и Таулесс тем не менее заметили, что вихри могут двигаться, как протяженные частицы, а также образовывать пары — при этом рождение пары вихрь-антивихрь стоит уже конечного количества энергии. Участники такой пары притягиваются друг к другу — и именно они, такие пары топологически-нетривиальных конфигураций спинов являются элементарными возбуждениями системы при низких температурах! При некоторой конечной температуре пары расцепляются и начинают свободно гулять по «залу», образуя жидкость свободных вихрей — это и есть переход Костерлица–Таулесса.

Важно отметить, что в фазовом переходе Костерлица–Таулесса не нарушается никакая симметрия, несмотря на явную перестройку порядка. В этом данный тип переходов существенным образом выходит за рамки концепции Ландау. Со времени своего предсказания КТ-переходы наблюдались в многочисленных экспериментах в тонких сверхтекучих пленках, в первую очередь, по скачку плотности сверхтекучей фазы при критической температуре.

Топология танца: электронная проводимость в магнитных полях и модель Халдейна

Да, именно такое описание электронного газа в двумерном кристалле, помещенном в сильное магнитное поле, дается в одном обзоре по квантовому эффекту Холла, опубликованном в Массачусетском технологическом институте. Причем же тут танец?

Электроны в магнитном поле движутся по окружностям, и чем сильнее поле, тем больше оно стягивает окружность в точку. Квантовая физика ставит ограничение на радиус траектории электрона, при этом минимальный радиус соответствует так называемому нулевому уровню Ландау. В сильных полях порядка 10 Т почти все электроны находятся на этом уровне, обладающем наименьшей энергией. Электроны фактически «танцуют» на одном месте. В «зале» площадью S действительно есть «места» для каждого электрона — квантовые состояния, соответствующие первому уровню Ландау; более того, эти места образуют двумерную решетку, подобную кристаллической. Точно так же как электроны в отсутствие поля способны перескакивать (туннелировать) от одного атома к другому, порождая энергетическую зону, электроны в магнитном поле, продолжая свой танец-вращение на первом уровне Ландау, могут перемещаться по залу по «магнитной решетке», также приводя к образованию зонной структуры.

Интересно, что, если учесть вклад электронов, танцующих в двумерном зале, в тензор проводимости, то недиагональная компонента последнего, связанная с эффектом Холла, окажется равной

где B (k, n) — так называемая кривизна Берри энергетической зоны, образуемой электронами на n-ом уровне Ландау, в точке зоны Бриллюэна с квазиимпульсом k. Не выписывая здесь явного выражения для этой кривизны, скажем лишь, что она является самой настоящей кривизной так называемого расслоенного пространства волновых функций электронов, поэтому интеграл от по зоне Бриллюэна (BZ) является скаляром! Другими словами, он не меняется при гладких преобразованиях волновых функций электронов, т.е. является топологическим инвариантом. Более того этот скаляр

известен в топологии как первое число Черна; в ее же рамках доказывается его целочисленность. Таким образом, проводимость σxy квантуется в единицах e2 / h — не что иное, как знаменитый целочисленный квантовый эффект Холла.

Несмотря на то, что целочисленный эффект Холла был исследован и до работ Таулесса и Халдейна, последние внесли существенный вклад в развитие данного вопроса. А именно, Таулесс с соавторами показал, что вклад в кривизну Берри дает не только внешнее магнитное поле, но и потенциал (обыкновенной) кристаллической решетки. Это открыло совершенно новую, казалось, безумную идею: если сама решетка может давать вклад в кривизну Берри, возможен квантовый эффект Холла и без магнитного поля? В 1988 году эта идея была теоретически воплощена в модели, ныне носящей имя Халдейна: в данной модели электроны могут перескакивать между узлами гексагональной решетки, образуя энергетическую зону с ненулевым числом Черна при нулевом полном магнитном потоке. Образно говоря, в схеме танца, придуманной Халдейном, электроны делают как правые, так и левые повороты, что как раз возможно в нулевом внешнем поле. Удивительно, но через 25 лет — в 2013 году — такой топологически-нетривиальный танцевальный паттерн, отражающийся в квантованной проводимости в отсутствие магнитного поля, был обнаружен экспериментально в сплавах висмута, сурьмы и теллура.

Как видим, порядок (паттерн, схема «танца») и — как результат — отклик холловских электронов на внешние воздействия (проводимость) непосредственно выражаются через топологическую характеристику электронных квантовых состояний в зоне Бриллюэна (число Черна). Таким образом, мы действительно имеем дело с топологическим состоянием (электронной) материи. А топология пространства состояний становится непосредственно наблюдаемой, измеримой величиной!

Под защитой топологии: спиновые цепочки и нелинейная сигма-модель

Совсем кратко, чтобы не вдаваться в теоретические дебри, постараемся очертить еще одно направление, в которое внес свой вклад Дункан Халдейн. Это спиновые цепочки — системы взаимодействующих спинов, выстроенных вдоль одного измерения. Такие системы уже полвека активно изучаются, в частности, ввиду возможности в некоторых случаях точно решить соответствующие квантовые модели (т.е. найти весь спектр состояний цепочки), а также в силу интересных свойств дуальности (эквивалентности) цепочек, составленных из целых и полуцелых спинов.

Пожалуй, самым известным примером спиновой цепочки является цепочка Гайзенберга, взаимодействие соседних спинов в которой имеет вид H ) -SiSi+1. В своих работах, опубликованных в 1980-х годах, Халдейн показал, что спектр таких квантовых цепочек должен быть существенно разным для целых и полуцелых спинов (т.е. для бозонных и фермионных цепочек). В частности, он выдвинул так называемую гипотезу Халдейна, согласно которой фермионные цепочки не должны иметь энергетической щели, в отличие от бозонных. Напомним, что наличие щели напрямую сказывается на оптических свойствах системы, а также на процессах переноса в ней, так как ограничивает снизу энергии элементарных возбуждений.

С другой стороны, тот же Халдейн показал, что в пределе S > ∞, в котором обычно работает квазиклассическое приближение, спиновая цепочка сводится к так называемой нелинейной O(3) сигма-модели (модели n-поля) — хорошо изученной модели в теории поля. Не перегружая изложение действием SNLS этой модели, скажем лишь, что оно описывает динамику векторного поля n(x,t) единичной длины. В то время было уже хорошо известно, что спектр такой модели имеет энергетическую (массовую) щель. Возникшее в результате явное противоречие с предположенным ранее отсутствием щели у фермионных цепочек было разрешено уже не Халдейном, однако он точно указал на верный путь к решению. А именно, Халдейн показал, что последовательный вывод предела S > ∞ для цепочки Гайзенберга порождает топологический вклад Stop в действие, различающийся для топологически-неэквивалентных распределений направлений спинов в цепочке. Именно это, топологическое слагаемое дополнительно взвешивает конфигурации поля n(x,t) с разными топологиями в статистической сумме

приводя к отсутствию щели у фермионных цепочек.

Выходит, что фаза Халдейна не обладает энергетической щелью в силу топологических причин, не связанных с традиционной зонной теорией. Более того, совсем недавно, в 2010 году, было показано, что свойство отсутствия щели в данной фазе устойчиво по отношению к возмущениям, то есть, как говорят, фаза Халдейна является топологически защищенной фазой материи.

Вместо заключения

Давайте постараемся избежать соблазна дать ответ на извечный вопрос: «А какой урок может извлечь человечество из Нобелевской премии 2016 года?» — его надо задавать как минимум самим лауреатам.

Вместо этого бросим еще один взгляд на представленный выше обзор достижений лауреатов Премии. В нем упоминаются различные математические (топологические) понятия и физические (квантовые, статистические) модели. Об экспериментах сказано гораздо меньше — возможно, в силу теоретической специализации автора — однако, несомненно, Премия этого года воспевает не эмпирику, а физическую интуицию, выраженную в красивом и точном языке современной математики. Глубина мысли может быть выражена в красоте языка, но красивое и точное выражение делает ее сильной, крылатой, бессмертной. А, стало быть, обязательно реализованной в одном из уголков Мироздания.

И правда, в заключительном разделе официального пресс-релиза Нобелевской премии-2016 по физике упоминается фраза самого Халдейна из статьи, в которой он ввел модель, ныне носящую его имя: «Несмотря на то, что модель, представленная здесь, едва ли физически реализуема…» Что ж, 25 лет спустя она была реализована. Посмотрим, что будет дальше, ведь многие модели еще ждут своего часа — но похоже, что нет ни одной красивой математической идеи, не воплощенной в нашем, физическом мире.

Ассистент кафедры теоретической физики О.Г. Харланов

Назад