Отделение прикладной математики

Приказом Ректора Московского Государственного университета имени М.В. Ломоносова от 24 февраля 2015 года в соответствии с решением Ученого совета физического факультета МГУ от 27 ноября 2014 года и приказом декана физического факультета от 4 февраля 2015 на физическом факультете создано новое отделение — Отделение прикладной математики (ОПМ).

Заведующим новым отделением назначен профессор кафедры математики, заслуженный профессор МГУ, Лауреат Ломоносовской премии МГУ за педагогическую деятельность доктор физико-математических наук Боголюбов Александр Николаевич.

Создание нового отделения позволило объединить научный и педагогический потенциал математических кафедр физического факультета, и потенциал весьма внушительный. В состав ОПМ вошли три кафедры: кафедра математики (образована в 1933 году, зав. кафедрой профессор Н.Н. Нефедов), кафедра компьютерных методов физики (образована в 1991 году, зав. кафедрой профессор Ю.П. Пытьев) и кафедра физико-математических методов управления (образована в 2009 году, зав. кафедрой академик РАН С.Н. Васильев).

Одной из основных целей создания Отделения прикладной математики является развитие сотрудничества между физическими и математическими кафедрами нашего факультета. Это полезно как физикам, и прежде всего физикам-экспериментаторам, так и математикам, особенно математикам-прикладникам, поскольку построение адекватной математической модели физического явления или процесса, а также ее верификация невозможны без их теснейшей совместной работы. Чисто умозрительные математические модели реальных физических процессов, как правило, приносят мало пользы (хотя самим математикам работать с ними порой гораздо проще, чем с реалистичными моделями). Математический эксперимент вне связи с экспериментом натурным страдает многими изъянами, что порой приводит отдельных физиков к совершенно неверной мысли о порочности самого метода математического моделирования. Мы надеемся, что создание ОПМ позволит совместными усилиями физиков и математиков нашего факультета создавать более адекватные математические модели физических явлений и процессов и правильно оценить «третий путь познания» — математическое моделирование.

Исторически между физикой и математикой сложилось очень тесное и плодотворное сотрудничество, которое является желанной целью других естественных наук. Например, история развития и становления квантовой механики — это во многом история, как развития, так и становления функционального анализа. Современная теоретическая физика использует и самые современные идеи математики, а работы специалиста по квантовой теории поля по оснащенности математическими идеями не уступают работам по абстрактной математике.

Однако в последние десятилетия в сотрудничестве между физикой и математикой появились новые важные черты. Важнейшим событием физики рубежа XIX и XX веков было разделение физики на экспериментальную и теоретическую. Именно этот шаг позволил применять в физике все более сложные и богатые математические методы. Далее наука сделала еще один шаг в области расширения сотрудничества между физикой и математикой — в науку вошли мощные компьютеры, которые позволяют совершенно по-новому взглянуть на взаимодействие физики и математики. Теперь наряду с теоретическим и экспериментальным подходами в физике существует и еще один, не менее важный подход — математическое моделирование.

Привычные модели теоретической физики, даже если они, например, используют современные идеи теории полей Янга-Миллса, не ставят перед собой задачу количественно описать детали физического эксперимента, а теоретические представления о распространении электромагнитных волн достаточно удалены от вопросов проектирования конкретных волноведущих систем. Практика показывает, что на этом поле есть большой простор, как для применения современных компьютеров, так и для специфических и очень красивых конструкций, использующих самые разнообразные математические приемы.

Очень важно, что новые направления исследования, возникшие с развитием современной физики и математики, потребовали пересмотра фундаментальных представлений, как первой, так и второй. Это ощущается даже при чтении лекций по такому традиционному предмету математического цикла как математический анализ. На первых же лекциях приходится объяснять студентам, что предел последовательности не зависит от конечного числа первых ее членов. Так как на компьютере можно воспроизвести только конечное число членов последовательности, то классическая математика говорит, что на компьютере нельзя искать пределы последовательностей. В то же время практика математического моделирования прямо говорит нечто обратное, и применение вычислительной техники позволяет с успехом искать пределы многих важных последовательностей, нарушая при этом каноны чистой математики. Классическая математика предлагает решать системы алгебраических уравнений любого порядка с помощью определителей, а прикладная математика категорически против этого, поскольку процедура вычисления определителя высокого порядка гораздо более трудоемкая, чем процедура решения системы линейных уравнений методом исключения Гаусса. Кстати, и определители высокого порядка вычисляют тем же методом исключения. Чистая математика для определения собственных векторов матрицы предлагает решать характеристическое уравнение, находить собственные значения, подставлять их в систему уравнений и решать полученную однородную систему. Просто и ясно. Вот только на выходе мы будем иметь чистые нули (кстати, в полном соответствии с законами чистой математики). Ведь вычисления мы будем вести на компьютере, а у него конечная разрядная сетка и, как неизбежное следствие, ошибки округления… Определитель полученной однородной системы никогда не будет равен нулю и решение будет только тривиальное. Вот и приходится математикам-прикладникам разрабатывает для этой цели методы обратных итераций, да еще со сдвигом.

В конце пятидесятых годов почти весь выпуск математиков-прикладников мехмата был занят крайне важной и очень полезной работой: проанализировать имеющийся набор численных методов в плане их соответствия требованиям компьютерной математики. И выяснилось, что многие известные методы совершенно не годятся для этих целей, поскольку являются неустойчивыми по отношению к ошибкам округления. Нечто подобное наблюдается и в наше время в связи с широким использованием кластерных вычислительных систем, основанных на технологии параллельных вычислений. Многие численные методы, которые еще совсем недавно считались абсолютно неперспективными, получают новую жизнь. Яркий пример этого — явные конечно-разностные схемы, которые из-за своей условной устойчивости были, казалось, навсегда забракованными. Но вот выяснилось, что безусловно устойчивые неявные разностные схемы весьма сложно распараллелить, а явные схемы распараллеливаются очень легко.

Среди математиков-прикладников весьма популярно такое мнение: «Там, где чистый математик считает, что задача решена, математик-прикладник прекрасно понимает, что тяжелая и кропотливая работа по получению решения еще и не начиналась».

Подобных противоречий между чистой и прикладной математикой встречается много. По каждому из этих вопросов в науке идут ожесточенные дискуссии, которые, надеемся, найдут разрешение в трудах тех студентов, которых мы учим.

Необходимость в применении математического моделирования возникает в ходе выполнения различных важных научных проектов. Например, планирование и последующая реализация проекта по строительству современного телескопа требует длительного и очень подробного анализа того, что, собственно, предполагается наблюдать на этом телескопе, какими характеристиками для этого он должен обладать, сколько стоит подобный проект, какими техническими средствами можно построить этот прибор и т.д. Выполнить эти работы без математического моделирования практически невозможно.

Физический факультет МГУ имеет мощнейшую техническую базу для развития математического моделирования. Вычислительные системы «Чебышев» и «Ломоносов» позволяют в принципе решить любую сколь угодно сложную задачу. Дело за разработкой оптимальных экономичных алгоритмов и численных методов, за их грамотной компьютерной реализацией.

Каждая из кафедр, входящих в состав отделения прикладной математики, имеет свою специфику, о которой стоит рассказать отдельно. Мы кратко перечислим основные направления их научных исследований, но полагаем, что каждая кафедра заслуживает отдельной статьи с подробным описанием тематики работ.

Научные исследования и подготовка студентов на кафедре математики осуществляются по двум основным крупным направлениям. Это направление «Асимптотические методы и асимптотико-численные методы в нелинейных задачах. Теория и приложения в задачах астрофизики, химической и биологической кинетики» и направление «Математические методы в естественных науках».

В рамках первого направления проводятся интенсивные исследования по разработке эффективных аналитических и численно-аналитических методов для классических и новых классов нелинейных задач математической физики, а также по применению асимптотических методов для построения и изучения математических моделей самого широкого круга явлений, включая задачи физической и химической кинетики, экологии и биофизики, гидродинамики, полупроводниковой техники, космической электродинамики и многих других направлений науки и техники. Руководители (профессора В.Ф. Бутузов, Н.Н Нефедов, Д.Д. Соколов) и члены научной группы являются лидерами в области математической физике, к которой относится это направление, они имеют ряд общепризнанных результатов мирового уровня, публикуются в высокорейтинговых российских и международных журналах, активно сотрудничают с иностранными учеными из известных научных центров. Работы этого направления поддерживаются грантами РФФИ и международными проектами, в работе над которыми активно участвуют аспиранты и студенты кафедры.

В рамках второго направления проводятся исследования в области фундаментальной научной проблемы математического моделирования широкого круга задач сверхвысокочастотной электродинамики, акустики, волоконной, интегральной и нанооптики. Ведется работа по разработке, обоснованию и практической реализации алгоритмов решения задач анализа и синтеза широкого круга волноведущих систем с заполнением на основе метаматериалов, фрактальным заполнением, а также волноведущих систем на основе фотонных кристаллов. Проводятся исследования «умных материалов» — сред, обладающих временной дисперсией, в частности, магнитных эластомеров. Интенсивно развивается классическое направление кафедры математики — методы решения некорректных задач. Большое поле для приложения современных методов решения некорректных задач дает астрофизика. Прекрасные примеры некорректных задач можно найти в медицине: это, прежде всего, вычислительная (или компьютерная) томография. Хорошо известны приложения методов решения некорректных задач в геофизике, физике плазмы, радиоастрономии, обработке изображений, спектроскопии, химии, экономики, оптимального управления и многих других областях. Большая работа проводится в области математического моделирования и исследования широкого круга новых задач физической химии и экологии, гидродинамики. Руководители этого направления (профессора А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов, А.Л. Делицын, Н.А. Тихонов, А.Г. Ягола) и члены научной группы данного направления являются ведущими специалистами в области математического моделирования, математической физики и прикладной математики. Разрабатываемые в рамках этого научного направления методы применяются для решения широкого круга прикладных физических задач. Поддерживаются самые тесные контакты с коллегами из США, Японии, Германии, Австрии, Китая, Сингапура, Польши, Индии, Швеции и других стран. Студенты и аспиранты проходят стажировки в ведущих зарубежных научных центрах, принимают активное участие в международных и всероссийских конференциях и школах. Являются руководителями и участниками молодежных научных проектов РФФИ («Мой первый грант»).

На кафедре компьютерных методов физики научная работа и подготовка студентов проводится по следующим основным направлениям.

Во-первых, это математическая теория измерительно — вычислительных систем (ИВС) как средств измерений в научных исследованиях и промышленности. Разработанные математические методы редукции измерений позволяют определять предельные возможности ИВС как средства измерения, решать задачи оптимального синтеза измерительных приборов, предназначенных для использования в составе ИВС и обеспечивающих максимальную точность ИВС как средств измерения, оценивать адекватность как математической модели измерений, так и получаемых значений параметров исследуемого объекта, их погрешности и т.д. Руководит этими направлениями проф. Ю.П. Пытьев, ему принадлежат фундаментальные работы по математическим методам анализа и интерпретации измерений, обработке и распознаванию изображений, по нечеткой и неопределенной нечеткой математике. Он является основателем нескольких новых направлений в информатике.

Во-вторых, это математические методы морфологического анализа изображений. Данное направление посвящено решению проблемы анализа и интерпретации изображений реальных сцен, полученных при неопределенных условиях регистрации. Эта проблема возникает при разработках систем машинного зрения, систем космического землеобзора, видеоконтрольных устройств. Руководители этого направления — проф. Ю.П. Пытьев и проф. А.И. Чуличков.

В-третьих, это методы нечеткой и неопределенной нечеткой математики. Эти методы разработаны для построения и использования в научных исследованиях моделей объектов исследования, в равной степени математически выражающих как формализованные, научно обоснованные знания модельера-исследователя в соответствующей предметной области, так и его субъективные, неформализованные представления о правдоподобии тех или иных значений априори неизвестных параметров модели. Руководитель направления — проф. Ю.П. Пытьев.

Далее отметим математическое моделирование и вычислительный эксперимент (компьютерное моделирование). В рамках данного направления развиваются новые эффективные компьютерные технологии моделирования методами молекулярной динамики и Монте-Карло. Разрабатываемые модели нашли применение в исследованиях биологических объектов (фотосинтез), микро- и нанотехнологий, в электронной микроскопии, медицинской (радиационной) физике и других. Результаты этих работ используются при моделировании в биологии, физике твердого тела, физике сплошных сред, теории поля, истории, политике и психологии (психофизике). Работы в этом направлении ведутся под руководством д.ф.-м.н. К.Э. Плохотникова и доц. Е.А. Грачева.

И наконец, квантовая теория измерений. Исследуются вопросы экспериментальной проверки различных интерпретаций квантовой механики, в частности, теории скрытых параметров методами квантовой оптики. Руководит этими работами д.ф.-м.н. А.В. Белинский.

Научные исследования и подготовка студентов на кафедре физико-математических методов управления связаны с одним из наиболее актуальных и бурно развивающихся современных направлений науки, техники и технологии — разработкой, оптимизацией и интеллектуализацией систем автоматического и автоматизированного управления объектами разной природы в условиях многокритериальности, неопределенности и риска на основе перспективных компьютерных и информационных технологий.

В рамках данного направления на кафедре под руководством академика С.Н. Васильева проводятся следующие исследования:

1) развитие теории интеллектного управления динамическими системами на основе метода редукции и метода автоматизации логических выводов (академик С.Н. Васильев) с приложением к задачам автоматического и эргатического управления морскими подвижными объектами;

2) развитие теоретических основ гибридных динамических систем, включая методы анализа и синтеза автоматических систем с переключениями (академик С.Н. Васильев), с приложениями к автоматизации процессов управления физико-техническими и экологическими системами;

3) развитие теоретических основ гарантированного управления динамическими объектами в условиях параметрической неопределенности, действия возмущений и наличия конфликтных ситуаций на основе методологии квадратичной и полиэдральной оптимизации (профессора В.Н. Афанасьев и Н.Б. Филимонов) с приложениями к автоматизации процессов управления физико-техническими и медико-биологическими системами;

4) развитие геометрической теории управления, включая задачи управления и наблюдения в системах с сосредоточенными и распределенными параметрами (профессор А.Г. Кушнер) с приложениями к автоматизации управления процессами нефтеразработок;

5) исследование NP-трудных задач теории расписаний, а также смежных задач дискретной и комбинаторной оптимизации, задач управления проектами, календарного планирования и логистики (профессор А.А. Лазарев) с приложениями к автоматизации процессов управления железнодорожным транспортом;

6) развитие теории управления организационными системами на основе методов исследования операций и экспертно-статистической обработки информации в условиях неопределенности (профессор А. Мандель) с приложениями к задачам управления многономенклатурными страховыми запасами;

7) разработка методов моделирования, диагностики, двухуровневого магнитного и кинетического управления высокотемпературной плазмой, а также адаптивной стабилизации профиля тока плазмы в токамаках как перспективных источниках неисчерпаемой термоядерной энергии (профессор Ю.В. Митришкин).

Новое отделение — отделение прикладной математики — призвано объединить усилия специалистов в области математического моделирования, математиков-прикладников, физиков-теоретиков, физиков-экспериментаторов и специалистов по теории и практике управления для решения сложных и крайне интересных задач прикладной математики в различных областях науки, техники и промышленности, а также готовить студентов, умеющих работать и желающих работать во все более широко применяемой и весьма перспективной области исследований — математическом моделировании.

Совет Отделения прикладной математики